数字 FIR 滤波器

本教程中每个阶段要实现的滤波器是一个 1024 阶数字 FIR 方框滤波器，其滤波输出是最近 1024 个输入样本的简单算术平均值。这个滤波器的行为并不特别有趣，但我们关心的是每个实现的性能细节，而不是滤波器的实用性，所以一个简单的滤波器就足够了。

滤波器定义

在离散时间步 $k$，给定输入样本序列 $x[\,]$，FIR 滤波器的输出样本 $y[k]$ 定义为：

$$y[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[k-n] \cdot b[n]$$

其中 $N$ 是滤波器阶数，$b[n]$（$n \in \{0,1,2,...,N-1\}$）是滤波器系数的向量。

滤波器系数 $b[n]$ 有滞后 $n$。也就是说，滤波器系数 $b[0]$ 总是与时间 $k$ 的最新输入样本相乘，$b[1]$ 与上一个输入样本相乘，依此类推。

本教程中使用的滤波器阶数 $N$ 固定为 $1024$ 阶。在我们的情况下，由于滤波器是一个简单的方框平均滤波器，所有的 $b[n]$ 都将是相同的值，即 $\frac{1}{N}$。因此，

$$b[n] = \frac{1}{N} \qquad \forall k\in \{0,1,2,...,N-1\}$$